等差数列、等比数列与阶乘特性/概念等差数列等比数列阶乘定义每两项之间的差值（公差）固定每两项之间的比值（公比）固定从 1 到正整数n的所有整数的乘积一般形式a₁, a₂, a₃, ..., aₙa₁, a₂, a₃, ..., aₙ1!, 2!, 3!, ..., n!通项公式aₙ = a₁ + (n-1)daₙ = a₁ × r^(n-1)n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1前 n 项和公式Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)Sₙ = a₁ × (1 - r^n) / (1 - r)(r ≠ 1)不适用（阶乘是单个值，无“前 n 项和”）增长速度线性增长指数增长超指数增长示例首项a₁=2，公差d=3：首项a₁=2，公比r=3：n!示例：数列：2, 5, 8, 11, 14数列：2, 6, 18, 54, 1621!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120应用场景- 匀速运动<br>- 固定利率存款- 复利计算<br>- 人口增长模型- 排列组合<br>- 泰勒展开特殊性质公差d=0时，所有项相等公比r=1时，所有项相等0! = 1是基础情况应用举例1. 等差数列的应用存款利息问题 ：如果每年定期存入一定金额，并且利率固定，则存款总额可以看作等差数列的累加。匀速运动 ：物体以恒定速度移动时，其位移随时间的变化形成等差数列。2. 等比数列的应用复利计算 ：银行存款按复利计算时，本金和利息的增长符合等比数列规律。人口增长 ：某些情况下，人口或生物数量的增长可以用等比数列描述。
